二次型怎么化规范 如何由矩阵求二次型的规范性

清风拂面2022-07-20 23:02:341882

如何将二次型f的标准形化为规范形?二次型化标准形和规范形的区别和解答方法,线性代数,这个二次型能化为规范型吗?怎么化?线性代数,二次型配方法化为规范型,如何由矩阵求二次型的规范性?

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如何将二次型f的标准形化为规范形

就是在实数范围内把系数化成1. 如

f = 2x1^2 - 3x2^2

令 y1= √2x1, y2=√3x2

则有 f =y1^2 - y2^2

二次型化为标准型的几个方法

标准形和规范形的区别

规范形中平方项的系数都是 1 或 -1

由标准形到规范形, 只需将标准型中平方项的正系数改为 1, 负系数改为 -1

正系数项放在前 即可.

线性代数,这个二次型能化为规范型吗?怎么化?

任何二次型都可以化成规范型

只需要在标准型的基础上

再做非奇异变换

将平方项的系数变为1或-1就可以了

方法如下:

这题的变化如下:

扩展资料:

线性代数是数学的一个分支,它的研究对象是向量,向量空间(或称线性空间),线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题;因而,线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中;通过解析几何,线性代数得以被具体表示。

线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型,使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。

线性(linear)指量与量之间按比例、成直线的关系,在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数。

非线性(non-linear)则指不按比例、不成直线的关系,一阶导数不为常数。

线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里,一个向量是一个有方向的线段,由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量,比如力,也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。

·每一个线性空间都有一个基。

·对一个;n;行;n;列的非零矩阵;A,如果存在一个矩阵;B;使;AB;=;BA;=E(E是单位矩阵),则;A;为非奇异矩阵(或称可逆矩阵),B为A的逆阵。

·矩阵非奇异(可逆)当且仅当它的行列式不为零。

·矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

·矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

·矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

·解线性方程组的克拉默法则。

·判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。

参考资料:百度百科-线性代数

线性代数,二次型配方法化为规范型?

1、是的,一般是先化为标准型;

如果题目不指明用什么变换, 一般情况配方法比较简单;

若题目指明用正交变换, 就只能通过特征值特征向量了;

2、已知标准形后, 平方项的系数的正负个数即正负惯性指数;

配方法得到的标准形, 系数不一定是特征值。

例题中平方项的系数 -2,3,4, 两正一负, 故正负惯性指数分别为2, 1;

所以规范型中平方项的系数为 1,1,-1 (两正一负)。

3、有的二次型可以直接化为规范形,可省去化标准形的过程,比如f(x,y,z)=5x^2+2xy+y^2-4z^2,配方4x^2+(x+y)^2-4z^2。若令u=x,v=x+y,w=z,即x=u,y=u-v,z=w,则f=4u^2+v^2-4w^2,这是标准形。如果令u=2x,v=x+y,w=2z,则直接得规范形f=u^2+v^2-w^2。

扩展资料:

线性代数是代数学的一个分支,主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。

例如,在解析几何里,平面上直线的方程是二元一次方程;空间平面的方程是三元一次方程,而空间直线视为两个平面相交,由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。

含有n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。

如何由矩阵求二次型的规范性

1、是的,一般是先化为标准型;

如果题目不指明用什么变换,一般情况配方法比较简单;

若题目指明用正交变换,就只能通过特征值特征向量了;

2、已知标准形后, 平方项的系数的正负个数即正负惯性指数;

通过匹配法得到的标准形式,其系数不一定是特征值。

例中,平方项的系数为-2,3,4,两个正的,一个负的,所以正惯性指数和负惯性指数分别为2,1;所以标准形式的平方项系数是11-1(2+1-)。

3、有的二次型可以直接化为规范形,可省去化标准形的过程,比如f(x,y,z)=5x^2+2xy+y^2-4z^2,配方4x^2+(x+y)^2-4z^2。若令u=x,v=x+y,w=z,即x=u,y=u-v,z=w,则f=4u^2+v^2-4w^2,这是标准形。如果令u=2x,v=x+y,w=2z,则直接得规范形f=u^2+v^2-w^2。

扩展资料:

线性代数是处理线性关系问题的代数的一个分支。线性关系是指数学对象之间的关系用一种一次性的形式来表示。

例如,在解析几何中,平面上直线的方程是二元的一阶方程;空间平面的方程是一个三元方程,而空间直线则是两个相交的平面,用两个三元方程组成的方程来表示。

n个未知数的线性方程叫做线性方程。变量的函数是线性函数。线性关系问题称为线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。

参考资料来源:百度百科-线性代数

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