三重积分积的是什么 三重积分的解析式是干什么的
三重积分的几何意义是什么啊？请问三重积分后是什么东西，我觉得不是体积，因为二重积分才是体积 三重积分只有在函数是1的时候才是体积？三重积分，区别讲明白（比如二重积分求的是什么三重积分求什？求三重积分，三重积分的几何意义是体积还是面积。
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三重积分存在的条件
将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数,就得到三重积分的定义
F(x)是每一点得点密度函数的话
那么三重积分就是这个区域内得总质量
特别的F(x)=1就是我们平时理解的体积
三重积分的几何定义
当是二重积分时，被积函数Z=F(x,y)是x、y的函数，此时积分是体积，比较直观。
当是三重积分时，被积函数是x,y,z的函数，是四维空间概念，较抽象，可以表达很多意思，例如可表示不均匀的物体，密度是x y z的函数，
此时积分结果就是物体的质量，可以用来计算重心、转动惯量等，而当F(x,y,z)=1时则积分结果表示体积。
三重积分投影法
其实，三重积分，就是把一重积分和二重积分的扩展
三重积分及其计算
一,三重积分的概念
将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数,就得到三重积分的定义
其中 dv 称为体积元,其它术语与二重积分相同
若极限存在,则称函数可积
若函数在闭区域上连续, 则一定可积
由定义可知
三重积分与二重积分有着完全相同的性质
三重积分的物理背景
以 f ( x, y, z ) 为体密度的空间物体的质量
下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法.
二,在直角坐标系中的计算法
如果我们用三族平面 x =常数,y =常数, z =常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体
其体积为
故在直角坐标系下的面积元为
三重积分可写成
和二重积分类似,三重积分可化成三次积分进行计算
具体可分为先单后重和先重后单
①先单后重
——也称为先一后二,切条法( 先z次y后x )
注意
用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分.
化三次积分的步骤
⑴投影,得平面区域
⑵穿越法定限,穿入点—下限,穿出点—上限
对于二重积分,我们已经介绍过化为累次积分的方法
例1 将
化成三次积分
其中 为长方体,各边界面平行于坐标面
解
将 投影到xoy面得D,它是一个矩形
在D内任意固定一点(x ,y)作平行于 z 轴的直线
交边界曲面于两点,其竖坐标为 l 和 m (l < m)
o
x
y
z
m
l
a
b
c
d
D
.(x,y)
例2 计算
其中 是三个坐标面与平面 x + y + z =1 所围成的区域
D
x
y
z
o
解
画出区域D
解
除了上面介绍的先单后重法外,利用先重后单法或切片法也可将三重积分化成三次积分
先重后单,就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分
若 f(x,y,z) 在 上连续
介于两平行平面 z = c1 , z = c2 (c1 < c2 ) 之间
用任一平行且介于此两平面的平面去截 得区域
则
②先重后单
易见,若被积函数与 x , y 无关,或二重积分容易计算时,用截面法较为方便,
就是截面的面积,如截面为圆,椭圆,三角形,正方形等,面积较易计算
尤其当 f ( x , y , z ) 与 x , y 无关时
希望对你有帮助
二重积分和二次积分的关系
一重积分积的是线上的权重，如果用图形表示出来就是图形面积。
二重积分积的是面上的权重，如果在面上面画出权重，相当于一个图形的体积。
三重积分积的是一个三维图形的权重，如果在三维图形中积了每个点的权重，相当于是计算了这个图形的质量。
二重积分与三重积分
一重积分积的是线上的权重，如果用图形表示出来就是图形面积。二重积分积的是面上的权重，如果在面上面画出权重，相当于一个图形的体积。三重积分积的是一个三维图形的权重，如果在三维图形中积了每个点的权重，相当于是计算了这个图形的质量。
三重积分的解析式是干什么的
三重积分是立体的质量。
设Ω为空间有界闭区域，f（x，y，z）在Ω上连续：
1、如果Ω关于xOy（或xOz或yOz）对称，且f（x，y，z）关于z（或y或x）为奇函数。
2、如果Ω关于xOy（或xOz或yOz）对称，Ω1为Ω在相应的坐标面某一侧部分，且f（x，y，z）关于z（或y或x）为偶函数。
3、如果Ω与Ω’设Ω为空间有界闭区域，f（x，y，z）在Ω上连续。
设三元函数z=f(x,y,z）定义在有界闭区域Ω上将区域Ω任意分成n个子域Δvi(i=123…，n）并以Δvi表示第i个子域的体积。
扩展资料：
三重积分计算方法：适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限。
一、先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。
1、区域条件：对积分区域Ω无限制；
2、函数条件：对f（x,y,z）无限制。
二、先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。
1、区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成
2、函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。
参考资料来源：百度百科-三重积分
