怎么证明一个矩阵可以对角化 矩阵可对角化的几种证明方法
如何证明矩阵可对角化？【请问】怎样判断一个矩阵是否可以相似对角化？矩阵可对角化的几种证明方法，线性代数题。怎么证明实对称矩阵可以对角化？如何判断一个矩阵是否可以相似对角化？
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如何证明矩阵可对角化
考虑基本的n阶循环矩阵
J=
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
任何n阶循环矩阵A都是J的多项式，所以只需要找一个P把J对角化就行了
J是酉阵，当然可对角化
如何判断矩阵不能和对角矩阵相似
n级矩阵A可对角化＜=＞A的属于不同特征值的特征子空间维数之和为n。
实际判断方法：
1、先求特征值，如果没有相重的特征值，一定可对角化；
2、如果有相重的特征值λk，其重数为k，那么你通过解方程（λkE-A）X=0得到的基础解系中的解向量若也为k个，则A可对角化，若小于k，则A不可对角化。
此外，实对称矩阵一定可对角化。
扩展资料：
若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A必能相似于对角矩阵。
说明：当A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向量，从而未必能对角化。
设M为元素取自交换体K中的n阶方阵，将M对角化，就是确定一个对角矩阵D及一个可逆方阵P，使M=PDP-1。设f为典范对应于M的Kn的自同态，将M对角化，就是确定Kn的一个基，使在该基中对应f的矩阵。
参考资料来源：百度百科——对角化
矩阵可对角化的几种证明方法
线性代数题。怎么证明实对称矩阵可以对角化？
不用厄米特矩阵。若能证明下列命题，你的问题便也立即得到解决了。
设A是一个n阶实对称矩阵，那么可以找到n阶正交矩阵T，使得（T的逆阵）AT为对角矩阵。
证明：当n=1时结论显然成立。现在证明若对n-1阶实对称矩阵成立，则 对n阶实对称矩阵也成立。设シ是A的一个特征值（n阶矩阵一定有n个特征值（计数重复的）），设α是A 的一个特征向量（α是列向量）。（（α的转置）*A）的转置=Aα=シα。因为特征向量的非零倍数仍然是特征向量，所以只要把α的每一个元都除以イ，其中イ的平方=（α的转置）*α，就使得α为单位向量（所谓单位向量就是（α的转置）*α=1）。显然所有的单位向量有无数个，且显然可以找到足够多的列单位向量，使得他们与α的内积为0且他们两两内积等于0，因为正交矩阵的充要条件是列（行）向量两两正交且都是单位向量，又因为对方阵而言若AB=E则BA=E，故可以 以α为第一列人工写出一个正交矩阵Q，（所谓正交矩阵就是（Q的转置）*Q=Q*(Q的转置)=E）。由（（α的转置）*A）的转置=Aα=シα 得（Q的转置）A的第一行是（シα）的转置，于是 （Q的转置）AQ的第1行第1列处是シ（α的转置）α= シ，还可以推出（Q的转置）AQ的第一列除了第一行以外都是0（至于这是为啥实在不方便打字，读者可以自己算一下，提示一下 设t是Q的元，tij*t+t..*t..+t..*t..+t..*t..时若每一项的角标都不完全一样，那么这些加起来就是0）。因为Q是正交矩阵，（（Q的逆阵）AQ）的转置=（Q的转置）（A的转置）（Q的逆阵的转置）=（Q的逆阵）AQ，所以（Q的逆阵）AQ也是对称矩阵，所以它第一行除了第一列以外也都是0，而除了第一行第一列剩下的一大块矩阵还是一个对称矩阵，所以最后可以反复进行这个过程整成对角矩阵。证毕
然而正交矩阵一定是可逆矩阵，对方阵而言可逆等价于满秩，乘以一个方阵满秩方阵以后秩不变，这就证明了你的实对称矩阵一定可以相似对角化
如何判断一个矩阵是否可以相似对角化？
A和B相似的充分必要条件是A和B有相同的特征值λ1……λn ，而且对于每一个特征值λi对应的两个特征矩阵A-λE和B-λE的秩相同。
