什么矩阵的特征向量正交 特征向量相互正交则满足什么公式

素锦流年2022-08-12 18:07:501580

如何判断特征向量是否正交?实对称矩阵相同特征值的特征向量相互正交吗?实对称矩阵相同特征值对应的特征向量正交吗?

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特征向量相互正交则满足什么公式

将两向量做内积,得出结果为0则两特征向量正交。

  • 例子:

    设向量m=(x1,x2,x3),n=(y1,y2,y3)那么m*n=x1y1+x2y2+x3y3如果m*n=0,那么称m和n正交。

  • 特征向量性质:

  • 线性变换的特征向量是指在变换下方向不变,或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。

  • 特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。

  • 特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间,还包括零向量,但要注意零向量本身不是特征向量。

  • 线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。

  • 特征值的几何重次是相应特征空间的维数。

  • 有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。

  • 二阶实对称矩阵快速求特征值

    实对称矩阵相同特征值的特征向量不一定相互正交。例如:n×n阶单位矩阵E是实对称矩阵,且任何n维向量都是E的特征向量,但不能说任何两个n维向量都是正交的,属于单位阵E的某个特征值的特征向量有的相互正交,也有的不相互正交。

    实对称矩阵的主要性质:

    1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

    2、实对称矩阵A的特征值都是实数,特征向量都是实向量。

    3、n阶实对称矩阵A必可对角化,且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

    4、若λ具有k重特征值 必有k个线性无关的特征向量,或者说必有秩r(λE-A)=n-k,其中E为单位矩阵。

    扩展资料:

    正交矩阵的相关性质

    1、方阵A正交的充要条件是A的行(列)向量组是单位正交向量组;

    2、方阵A正交的充要条件是A的n个行(列)向量是n维向量空间的一组标准正交基;

    3、A是正交矩阵的充要条件是:A的行向量组两两正交且都是单位向量;

    4、A的列向量组也是正交单位向量组;

    5、正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。

    参考资料来源:百度百科-实对称矩阵

    实对称矩阵的特征值怎么计算

    实对称矩阵不同特征值的特征向量一定是正交的。实对称矩阵同一特征值的不同特征向量线性无关。结论很明显,书上解释得也很清楚,我猜题主问这个问题是对于下面这个问题的疑惑。这里说的是存在,并没有说对于实对称矩阵A的特征值分解,得到的U一定是正交矩阵。而是可以采用一些正交化方法使得U成为正交矩阵,就是说即使U不是正交矩阵,但U的各列向量线性无关。

    矩阵:

    在数学中,矩阵(Matrix)是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合,最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵是高等代数学中的常见工具,也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中,矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用;计算机科学中,三维动画制作也需要用到矩阵。

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    标签: 矩阵
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