矩阵对角化是什么意思 矩阵相似对角化步骤

惊醒了孤独2022-11-23 06:01:011525

关于矩阵相似对角化的概念问题!,一个矩阵可以对角化是不是就是说这个矩阵是对角矩阵,矩阵可对角化的重要条件是什么?正交对角化是什么意思?和普通的对角化又啥区别?研究矩阵的相似对角化的意义,什么叫对角化?

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矩阵相似对角化步骤

能够相似对角化有两种可能

第一种:有N个不同的特征值

第二种:有相同的特征值,N重特征值有N个线性无关的特征向量。

两种情况合二为一就是:有N个线性无关的特征向量。

所以说,A可相似对角化的话,n阶方阵A的n个特征值不一定全都不相等,可能包含有重根在里面。

“可是A有n个互不相等的特征向量,也能推出A可相似对角化。但是!反过来就不行了.....”

不明白你的意思

矩阵可对角化的两个必要条件

不能这么说的

除对角线上的元素外,其余的元素都是零的方阵,叫做对角矩阵。 这个是定义的

你说的这个,只能说明,它可对角化。

对称矩阵可对角化的条件

n阶方阵可进行对角化的重要条件是:

1、n阶方阵存在n个线性无关的特征向量

推论:如果这个n阶方阵有n个不同的特征值,那么矩阵必然存在相似矩阵

2、如果阶n方阵存在重复的特征值,则每个特征值的线性无关的特征向量的个数等于该特征值的重

复次数。

扩展资料

特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设 A 是n阶方阵,如果存在数m和非零n维列向量;x,使得 Ax=mx 成立,则称 m 是A的一个特征值(characteristic value)或本征值(eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于(对应于)特征值m的特征向量或本征向量,简称A的特征向量或A的本征向量。

设A为n阶矩阵,若存在常数λ及n维非零向量x,使得Ax=λx,则称λ是矩阵A的特征值,x是A属于特征值λ的特征向量。

A的所有特征值的全体,叫做A的谱,记为;

参考资料百度百科-特征值

.

对角化的计算步骤

正交对角化要求变换矩阵是正交矩阵,即在求特征值特征向量后要进行施密特正交化。

一般对角化无需施密特正交化,只要求出对应于特征值的特征向量即可

怎么判断一个矩阵相似对角化

理论上看,意义是明显的。相似是一种等价关系,对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式,这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质,比如特征多项式,特征根,行列式……如果只关心这类性质,那么相似的矩阵可以看作没有区别的,这时研究一个一般的可对角化的矩阵,只要研究它的标准形式——一个对角矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵,研究起来非常方便。这个过程相当于在一个等价类中选取最顺眼的元素研究。

另外,对角化突出了矩阵的特征值,而过度矩阵T反映了特征向量的信息,对角化过程的直观意义还是很明显的。再结合正交矩阵的概念,可以得到一些不平凡的结论,例如实对称矩阵总可以对角化。

实践中的矩阵对角化作用也很大。别的不说,比如要算一个一般的3阶实对称矩阵A的n次幂,n较大时,按矩阵乘法定义去计算是相当繁琐的,计算复杂度呈指数型增长。但是如果把A可以对角化(实对称矩阵总是可以对角化的),写为=T^(-1)PT,P是对角阵。那么A^n=T^(-1)P^nT,P^n的计算是很简单的,只要把各特征值^n即可,此时计算A^n的复杂度几乎与n无关。

以上纯属个人见解,仅供LZ参考:)

对角化与秩的关系

设M为元素取自交换体K中的n阶方阵,将M对角化,就是确定一个对角矩阵D及一个可逆方阵P,使M=PDP。设f为典范对应于M的Kn的自同态,将M对角化,就是确定Kn的一个基,使在该基中对应f的矩阵是对角矩阵。

对角矩阵是指只有主对角线上含有非零元素的矩阵,即,已知一个n×n矩阵 ,如果对于 ,则该矩阵为对角矩阵。如果存在一个矩阵 ,使 的结果为对角矩阵,则称矩阵 将矩阵 对角化。对于一个矩阵来说,不一定存在将其对角化的矩阵,但是任意一个n×n矩阵如果存在n个线性不相关的特征向量,则该矩阵可被对角化

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