极坐标交换积分次序怎么看 二重积分极坐标变化,交换积分顺序上下极限怎么确定

灯火万家2022-12-15 15:01:262242

极坐标下交换积分次序如何求解呀? 有图最好,帮忙解释一下?在极坐标下交换积分次序的一道题,极坐标下交换积分次序怎么求解呀?【高数】交换积分(极坐标)的次序,二重积分极坐标变化,交换积分顺序上下极限怎么确定?极坐标下,二重积分如何变换积分次序……我到现在都没搞懂,求学霸详解,要有例题,谢谢?

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极坐标求二重积分的步骤

1、本题的积分区域,请参看下面的第一张图片;

2、原来的积分次序,一次性地包括了粉红色部分跟草绿色部分;

3、交换积分次序后,积分区域就变成了两部分 : 粉红色部分 + 草绿色部分;

4、极坐标积分的积分次序的意思是:

A、先对 r 积分的意思

---一个极经,从原点射出 r = 0,射到极坐标方程的曲线上;

---然后这个极经,逆时针扫过的角度,就是θ的范围。

B、先对;θ 积分的思想

---从圆心开始画同心圆弧,圆弧的角度,也就是圆心角 central angle,

; ;逆时针从最下方的曲线或直线上的角度,扫到最上方的曲线或直线上的角度,

; ;这个角度必要用极坐标方程表示,也就是必须是 r 的函数;

---然后从扫过的范围中,确定 r 是从多少到多少,都是具体的数字。

有了这些思想,就容易看懂第二张图片的解答了。

如有疑问,欢迎追问,有问必答、有疑必释,有错必纠。

在极坐标下交换积分次序的一道题。

1、本题的积分区域,请参看下面的第一张图片;

2、原来的积分次序,一次性地包括了粉红色部分跟草绿色部分;

3、交换积分次序后,积分区域就变成了两部分 : 粉红色部分 + 草绿色部分;

4、极坐标积分的积分次序的意思是:

A、先对 r 积分的意思

---一个极经,从原点射出 r = 0,射到极坐标方程的曲线上;

---然后这个极经,逆时针扫过的角度,就是θ的范围。

B、先对;θ 积分的思想

---从圆心开始画同心圆弧,圆弧的角度,也就是圆心角 central angle,

逆时针从最下方的曲线或直线上的角度,扫到最上方的曲线或直线上的角度,

这个角度必要用极坐标方程表示,也就是必须是 r 的函数;

---然后从扫过的范围中,确定 r 是从多少到多少,都是具体的数字。

有了这些思想,就容易看懂第二张图片的解答了。

极坐标下交换积分次序怎么求解呀

请仔细阅读,体会其中的解题思想:

【高数】交换积分(极坐标)的次序。

原积分可写为∫∫f(r,t)drdt

(以t代替角度)

=∫∫[f(r,t)/r]rdrdt可看成某二重积分

其积分区域为圆心为(a/2,0),半径为a/2的圆

交换积分顺序后,固定

r,原点为圆心r为半径的圆与上圆交点处的t值为arccos(r/a),-arccos(r/a)

r在(0,a)内两圆有交点

如2L所说

交换后t下限、上限分别为:-arccos(a/r)与arccos(a/r)

r从0到a

而r是否遗漏并不重要

因为f(r,t)=[f(r,t)/r]*r可提出r

二重积分极坐标变化,交换积分顺序上下极限怎么确定

交换顺序时,暂时忘掉极坐标的含义,把θ与r当作直角坐标就容易做。

c比如,区域为

x²+y²≤x

极坐标系下先ρ后θ的积分区域表示成

-π/2≤θ≤π/2

0≤ρ≤cosθ

然后,建立以θ为横坐标,ρ为纵坐标的直角坐标系,

区域变成由

ρ=cosθ (-π/2≤θ≤π/2)和θ轴围成的区域,

改变积分次序后,变成

0≤ρ≤1

-arccosρ≤θ≤arccosρ

扩展资料:

极坐标是指在平面内取一个定点O,叫极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。

对于平面内任何一点M,用ρ表示线段OM的长度(有时也用r表示),θ表示从Ox到OM的角度,ρ叫做点M的极径,θ叫做点M的极角,有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标,这样建立的坐标系叫做极坐标系。通常情况下,M的极径坐标单位为1(长度单位),极角坐标单位为rad(或°)。

参考资料来源:百度百科-极坐标

用极坐标计算二重积分角度怎么算

一般场合,极坐标系下二重积分的计算,都是遵循先ρ后θ的形式,少数场合需要交换次序的时候,按下面步骤来:

(1)先按先ρ后θ的次序写好。

(2)再把关于ρ和θ的区域直接转换成直角坐标系。

按照直角坐标系下交换积分次序的方法完成。

比如,区域为x²+y²≤x;

极坐标系下先ρ后θ的积分区域表示成-π/2≤θ≤π/2;

0≤ρ≤cosθ;

然后,建立以θ为横坐标,ρ为纵坐标的直角坐标系,区域变成由ρ=cosθ (-π/2≤θ≤π/2)和θ轴围成的区域,改变积分次序后,变成0≤ρ≤1-arccosρ≤θ≤arccosρ这样就可以了。

二重积分:

二重积分是二元函数在空间上的积分,同定积分类似,是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用,可以用来计算曲面的面积,平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的(有向)曲面上进行积分,称为曲面积分。

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