为什么可积不一定有原函数 所有函数都有不定积分吗
为什么积分存在却不一定有原函数?函数可积一定存在原函数吗?原函数存在与函数可积这个怎么理解?可积函数一定存在原函数吗?可积是否一定存在原函数,存在原函数一定可积吗?
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所有函数都有不定积分吗
积分存在和有原函数是两回事。
积分存在应该指的是定积分存在(也称 Riemann 可积,见定积分的定义),而有原函数却是指的有函数的导函数等于这个函数。比如 Riemann 函数 R(x) 是 Riemann 可积的,但 R(x) 的原函数是什么却不清楚。
任意函数都有原函数吗
函数可积不一定存在原函数。按条件的强度来说,可积是个较弱的条件,因为可积的充分条件是“在闭区间上有界且只有有限个间断点。” 可积的必要条件就是函数有界。
函数可积,只能知道他的变限积分所构造的函数连续。连续是比可积稍强的条件,也就是说,闭区间连续一定可积,且必有原函数,而且该函数的原函数一定可导。
可导是比连续更强的条件,也就是说可导——》连续——》可积。
可微是很强的条件,比可导还强,一元函数二者等价,多元函数可微比可导强。
偏导数连续(我认为)是最强的条件,可以推出上述的一切条件。一个函数如果可导,那么它的导函数是不可能存在第一类间断点的,所以说一个函数如果存在第一类间断点,那么它是不会有原函数的。
扩展资料:
可积函数充分条件:
(1)设;;在区间;;上连续,则;在;上可积。
(2)设;;区间;;上有界,且只有有限个间断点,则;在;;上可积。
(3)设;;在区间;;上单调有界,则;;在;;上可积。
若函数f(x)在某区间上连续,则f(x)在该区间内必存在原函数,这是一个充分而不必要条件,也称为“原函数存在定理”。
函数族F(x)+C(C为任一个常数)中的任一个函数一定是f(x)的原函数,
故若函数f(x)有原函数,那么其原函数为无穷多个。
例如:x3是3x2的一个原函数,易知,x3+1和x3+2也都是3x2的原函数。因此,一个函数如果有一个原函数,就有许许多多原函数,原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。
例如:已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v=v(t),要求它的运动规律 ,就是求v=v(t)的原函数。原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题,当f(x)为连续函数时,其原函数一定存在。
为什么可积原函数一定连续
如此简单的问题,还是我来回答吧。第一,两者绝对不等价,原函数存在不一定可积,譬如,F(X)的导数为f(x),但是f(x)是无界的,当然不可积,这样的例子是存在的,我手里有很多,建议数字符号不好输,我就不列举了。第2,可积不一定存在原函数,因为当f(x)有界,且存在有限个间断点是可积的,但是一旦这个间断点是第一类间断点,那么虽然可积,但原函数肯定不存在的。你那个C存在,就是可积分但原函数不存在的例子
函数是否连续与可积有什么关系
有这么两个命题,均选自课本:
1,若f(x)在区间I上有有一类间断点,则f(x)在I上不存在原函数。
2,f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点是可积的充要条件。
这样是不是可以说明可积的函数不一定存在原函数?我来帮他解答
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2010-9-11
20:32
满意回答
是这样的,可积不一定存在原函数。正好用一楼的例子,他给的函数存在第一类间断点,在某个闭区间内可积,如[-1,1],可是原函数是不存在的,因为原函数必连续,只能说在x=0两边的区间内分别存在原函数,但是对于在给定的包括0的整个定义域内的函数来说原函数是不存在的。不知道说的是否明白,第一个命题是正确的。
如何证明可积函数必有界
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是这样的,可积不一定存在
原函数
。正好用一楼的例子,他给的函数存在
第一类间断点
,在某个
闭区间
内可积,如[-1,1],可是原函数是不存在的,因为原函数必连续,只能说在x=0两边的区间内分别存在原函数,但是对于在给定的包括0的整个
定义域
内的函数来说原函数是不存在的。不知道说的是否明白,第一个命题是正确的。
一个函数连续必定会存在原函数吗
函数可积不一定存在原函数。
按条件的强度来说,可积是个较弱的条件,因为可积的充分条件是“在闭区间上有界且只有有限个间断点。”
可积的条件:
可积的必要条件就是函数有界。
函数可积,只能知道他的变限积分所构造的函数连续。
连续是比可积稍强的条件,也就是说,闭区间连续一定可积,且必有原函数,而且该函数的原函数一定可导。
可导是比连续更强的条件,也就是说可导——》连续——》可积。