极大无关组什么情况唯一 怎么判断极大无关组是哪个向量

与你若只如初见2023-03-15 15:39:362795

请问“矩阵的行(列)向量组的极大线性无关组唯一”的含义是什么??具体有什么例子可以讲一下吗?谢谢?一个矩阵的极大线性无关组是不是唯一的,向量组的最大无关组不是唯一的吗?极大无关组的定义是什么?一个向量组的最大无关组可不可以唯一,为什么说一个向量的极大无关组所含向量的个数是唯一的?

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怎样求矩阵的全部最大线性无关组

只看“矩阵的行向量组的极大线性无关组唯一”,其意思是:

设秩=r,则矩阵有r行﹛α1,α2,……αr﹜线性无关,其他行一定都是零行﹙元素全部是零的行﹚。

证明,假如还有一行α≠0 则α=k1α1+……+krαr k1,……kr不能全为0 ﹙否则α=0﹚

例如k1≠0 则容易知道α,α2,……αr是 矩阵的另外一个极大线性无关组,与“唯一”矛盾,不可。

如何判断矩阵中的向量组线性无关

可以不唯一,可以有几个极大无关组,但是所有的极极大无关组的向量数是相等的。

向量组的最大线性无关组怎么求

一般情况下,向量组的极大无关组不是唯一的。例如(1,1),(1,0),(0,1)中的任何两个向量都是极大无关组。

怎么判断极大无关组是哪个向量

定义

设S是一个n维向量组,α1,α2,...αr 是S的一个部分组,如果(1) α1,α2,...αr 线性无关;(2) 向量组S中每一个向量均可由此部分组线性表示,那么α1,α2,...αr 称为向量组S的一个极大线性无关组,或极大无关组。

基本性质

  • 只含零向量的向量组没有极大无关组;

  • 一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身;

  • 极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一,但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量;

  • 齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系。

  • 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。

  • 一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。

  • 若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出,则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。

  • 相关定理

  • 定理一

    设a1,a2,…,ar与b1,b2,…,bs是两个向量组,如果

    (1)向量组 a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出,

    (2)r>s,

    那么 向量组a1,a2,…,ar必 线性相关。

    推论1

    如果 向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出,且a1,a2,…,ar线性无关,那么r≤s。

    推论2

    任意n+1个n维 向量必 线性相关。

    推论3

    两个线性无关的 等价向量组,必含有相同个数的向量。

  • 定理二

    一 向量组的极大线性无关组都含有向量的个数相同。

  • 定理三

    一 向量组线性无关的 充分必要条件是,它的秩与它所含向量的个数相同。

    推论4

    等价的向量组必有相同的秩。

  • 求向量组最大无关组的步骤

    一个向量组的最大无关组可以唯一。

    比如这个向量组本来就是无关组,它就是唯一的最大无关组。

    一般说:最大无关组未必唯一。刚才只是特例。

    向量线性无关的充分必要条件

    一楼不知道定义就不要乱回答。

    这种问题就从定义出发一步一步做,我给你写一下路子,哪步不会证再问我。

    1.若A=[a_1,a_2,...,a_k]是向量族V的极大无关组,那么V中的任何向量x都可以写成a_i的线性组合。

    (这个用定义证)

    2.若A=[a_1,a_2,...,a_k]是向量族V的极大无关组,B={b_1,b_2,...,b_m}是V中的线性无关组,那么m<=k。

    (提示:将B中的向量逐个替换A中的向量)

    3.若A=[a_1,a_2,...,a_k]和B={b_1,b_2,...,b_m}都是向量族V的极大线性无关组,那么k=m。(因为k<=m,m<=k)

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    标签: 生活
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