求极限要注意哪些方法 求函数极限八个经典例子
求函数的极限值,一般有哪些方法?(详细解答,求函数极限的方法有几种?具体怎么求?求极限的所有方法,要求详细点,求极限的方法,函数求极限的方法与技巧,求极限的方法与技巧。
本文导航
求函数的极限最简单
常用方法有:
1、【直接计算】
能直接计算,而又不出现不定式的情况,就直接代入计算;
2、【罗必达方法】
如果出现七种不定式之一,就不可以直接代入计算,如果是连续函数,
就必须把七种不定式,统统化成无穷大比无穷大的形式,或无穷小比
无穷小的形式,然后运用罗必达方法;
3、【变量代换】
如果不是连续函数,却是七种不定式之一,就必须做变量代换,然后
化成连续函数,通常是零x=1/n,然后就可以使用罗必达方法;
4、【定积分】
将极限化成定积分计算;
5、【有理化】
对于简单的0比0,或无穷大比无穷大的题目,先分子有理化,或分母
有理化,或分子分母同时有理化;
6、【分子有理化】
对于无穷大减无穷大的情况,分子有理化;
7、【因式分解】
能因式分解的尽一切可能因式分解,因式分解的方法通常有很多,最
常见的是a^2-b^2,其次是a^n-b^n,十字相乘法,长除法等等;
8、【特别极限】
运用两个特别极限:sinx/x,(1+无穷小)^无穷大(该无穷小的倒数)=e;
9、【夹挤法】
夹挤法,结合放大、缩小法;
10、【等价无穷小代换法】
这种方法,在国内很有市场,数学教师们异常热衷,炒作得很火热。
国际上并非如此,一是因为能等价代换的类型非常有限;二是等价代换
的实质其实不外乎两种特别极限,或罗必达法则;三是等价代换会经常
出错;四是数学是一门生龙活虎的学科,国内教学喜欢用死记硬背的方
法去让学生去死背这、硬背那,还一大套歪理,国际教学不吃这一套。
求函数极限八个经典例子
一、利用极限四则运算法则求极限
函数极限的四则运算法则:设有函数,若在自变量f(x),g(x)的同一变化过程中,有limf(x)=A,limg(x)=B,则
lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B
lim[f(x)・g(x)]=limf(x)・limg(x)=A・B
lim==(B≠0)
(类似的有数列极限四则运算法则)现以讨论函数为例。对于和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则,但使用这些法则,往往要根据具体的函数特点,先对函数做某些恒等变形或化简,再使用极限的四则运算法则。方法有:
1.直接代入法
对于初等函数f(x)的极限f(x),若f(x)在x点处的函数值f(x)存在,则f(x)=f(x)。直接代入法的本质就是只要将x=x代入函数表达式,若有意义,其极限就是该函数值。
2.无穷大与无穷小的转换法
在相同的变化过程中,若变量不取零值,则变量为无穷大量?圳它的倒数为无穷小量。对于某些特殊极限可运用无穷大与无穷小的互为倒数关系解决。
(1)当分母的极限是“0”,而分子的极限不是“0”时,不能直接用极限的商的运算法则,而应利用无穷大与无穷小的互为倒数的关系,先求其的极限,从而得出f(x)的极限。
(2)当分母的极限为∞,分子是常量时,则f(x)极限为0。
3.除以适当无穷大法
对于极限是“”型,不能直接用极限的商的运算法则,必须先将分母和分子同时除以一个适当的无穷大量x。
4.有理化法
适用于带根式的极限。
二、利用夹逼准则求极限
函数极限的夹逼定理:设函数f(x),g(x),h(x),在x的某一去心邻域内(或|x|>N)有定义,若①f(x)≤g(x)≤h(x);②f(x)=h(x)=A(或f(x)=h(x)=A),则g(x)(或g(x))存在,且g(x)=A(或g(x)=A)。(类似的可以得数列极限的夹逼定理)利用夹逼准则关键在于选用合适的不等式。
三、利用单调有界准则求极限
单调有界准则:单调有界数列必有极限。首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性,再求解方程,可求出极限。
四、利用等价无穷小代换求极限
常见等价无穷小量的例子有:当x→0时,sinx~x;tanx~x;1-cosx~x;e-1~x;ln(1+x)~x;arcsinx~x;arctanx~x;(1+x)-1~x。
等价无穷小的代换定理:设α(x),α′(x),β(x)和β′(x)都是自变量x在同一变化过程中的无穷小,且α(x)~α′(x),β(x)~β′(x),lim存在,则lim=lim。
五、利用无穷小量性质求极限
在无穷小量性质中,特别是利用无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量的性质求极限。
六、利用两个重要极限求极限
使用两个重要极限=1和(1+)=e求极限时,关键在于对所给的函数或数列作适当的变形,使之具有相应的形式,有时也可通过变量替换使问题简化。
七、利用洛必达法则求极限
如果当x→a(或x→∞)时,两个函数f(x)与g(x)都趋于零或趋于无穷小,则可能存在,也可能不存在,通常将这类极限分别称为“”型或“”型未定式,对于该类极限一般不能运用极限运算法则,但可以利用洛必达法则求极限。
求极限的十二种方法
基本方法有:
1、分式中,分子分母同除以最高次,化无穷大为无穷小计算,无穷小直接以0代入;
2、无穷大根式减去无穷大根式时,分子有理化,然后运用(1)中的方法;
3、运用两个特别极限;
4、运用洛必达法则,但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大,或无穷小比无穷小,分子分母还必须是连续可导函数。它不是所向无敌,不可以代替其他所有方法,一楼言过其实。
5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开,而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。
6、等阶无穷小代换,这种方法在国内甚嚣尘上,国外比较冷静。因为一要死背,不是值得推广的教学法;二是经常会出错,要特别小心。
7、夹挤法。这不是普遍方法,因为不可能放大、缩小后的结果都一样。
8、特殊情况下,化为积分计算。
9、其他极为特殊而不能普遍使用的方法。
拓展资料:
1,;“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念,广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指:某一个函数中的某一个变量,此变量在变大(或者变小)的永远变化的过程中,逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”(“永远不能够等于A,但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果)的过程中,此变量的变化,被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。
2, 极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”(当然也可以用其他符号表示)。以上是属于“极限”内涵通俗的描述,“极限”的严格概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。
参考资料:
求极限通俗易懂方法
1、利用定义求极限:
例如:很多就不必写了!
2、利用柯西准则来求!
柯西准则:要使{xn}有极限的充要条件使任给ε>0,存在自然数N,使得当n>N时,对于
任意的自然数m有|xn-xm|<ε.
3、利用极限的运算性质及已知的极限来求!
如:lim(x+x^0.5)^0.5/(x+1)^0.5
=lim(x^0.5)(1+1/x^0.5)^0.5/(x^0.5)(1+1/x)^0.5
=1.
4、利用不等式即:夹挤定理!
例子就不举了!
5、利用变量替换求极限!
例如lim
(x^1/m-1)/(x^1/n-1)
可令x=y^mn
得:=n/m.
6、利用两个重要极限来求极限。
(1)lim
sinx/x=1
x->0
(2)lim
(1+1/n)^n=e
n->∞
7、利用单调有界必有极限来求!
8、利用函数连续得性质求极限
9、用洛必达法则求,这是用得最多得。
10、用泰勒公式来求,这用得也十很经常得。
常见的函数极限公式大全
1,利用函数连续性:直接将趋向值带入函数自变量中,此时要要求分母不能为0;
2,通过已知极限:两个重要极限需要牢记;把所求的极限转化为两个重要极限的形式,然后利用重要极限来求极限。
3,采用洛必达法则求极限:洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法,当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达,其他形式也可以通过变换成此形式。
4,利用等价无穷小量来求极限。
求极限的10种主要方法和例题
求极限的方法有很多种。如洛必达法则。利用等价无穷小的替换原理。两个重要的极限。等等。