怎么判断矩阵的正定性 如何辨别正定和半正定和负定。
判断矩阵是正定矩阵的条件有哪些，判断矩阵是正定矩阵的方法 有几种，怎么判断一个矩阵是否为正定矩阵？矩阵如何判断是正定，负定？如何辨别正定和半正定和负定？
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判断矩阵是正定矩阵的条件有哪些？
对称矩阵A为正定的充分必要条件是:A的特征值全为正.
对称矩阵A为正定的充分必要条件是:A的各阶主子式为正,即对称矩阵A为负定的充分必要条件是:奇数阶主子式为负,而偶数阶主子式为正.(霍尔维茨定理)
判断矩阵是正定矩阵的方法 有几种
对称阵A正定的等价条件
1、对应的二次型正定
2、所有主子式大于0
3、所有顺序主子式大于
4、所有特征根大于0
正定的一个必要条件 ：所有对角线上的元素全大于0（用于判定不正定时常用）
怎么判断一个矩阵是否为正定矩阵？
判断一个矩阵是否为正定矩阵有两种方法：
1、求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。
2、计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。
扩展资料：
半正定矩阵的特点：
1、半正定矩阵的行列式是非负的；两个半正定矩阵的和是半正定的；非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。
2、设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量x有xTAx≥0x有xTAx≥0，就称A为半正定矩阵。
参考资料：正定矩阵_百度百科
矩阵如何判断是正定，负定？
如果任一非零实向量X，都使二次型f（X）=X的转置*A*X>0，则我们说f（X）为正定二次型，f（X）的矩阵A称为正定矩阵。
追问：
转置*A*X>0
是什么意思
回答：
你要判定矩阵是正定或者负定只需要看您的矩阵是否（所有的顺序
主子
式全大于零）就行了
希望您能采纳
采纳哦
如何辨别正定和半正定和负定。
一．
定义
因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型:
设有二次型
,如果对任何x
0都有f(x)>0(
0)
，则称f(x)
为正定（半正定）二次型。
相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为：
令a为
阶对称矩阵，若对任意n
维向量
x
0都有
＞0(≥0)则称a正定（半正定）矩阵；反之，令a为n
阶对称矩阵，若对任意
n
维向量
x≠0
,都有
＜0（≤
0），
则称a负定（半负定）矩阵。
例如，单位矩阵e
就是正定矩阵。
二．
正定矩阵的一些判别方法
由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：
1.n阶对称矩阵a正定的充分必要条件是a的
n
个特征值全是正数。
证明：若
，
则有
∴λ＞0
反之，必存在u使
即
有
这就证明了a正定。
由上面的判别正定性的方法，不难得到a为半正定矩阵的充要条件是：a的特征值全部非负。
2．n阶对称矩阵a正定的充分必要条件是a合同于单位矩阵e。
证明：a正定
二次型
正定
a的正惯性指数为n
3．n阶对称矩阵a正定（半正定）的充分必要条件是存在
n阶可逆矩阵u使
；进一步有
（b为正定（半正定）矩阵）。
证明：n阶对称矩阵a正定，则存在可逆矩阵u使
令
则
令
则
反之，
∴a正定。
同理可证a为半正定时的情况。
4．n阶对称矩阵a正定，则a的主对角线元素
，且
。
证明：（1）∵n阶对称矩阵a正定
∴
是正定二次型
现取一组不全为0
的数0,…,0,1,0…0(其中第i个数为1)代入，有
∴
∴a正定
∴存在可逆矩阵c
，使
5．n阶对称矩阵a正定的充分必要条件是：a的
n
个顺序主子式全大于零。
证明：必要性：
设二次型
是正定的
对每个k,k=1,2,…,n,令
，
现证
是一个k元二次型。
∵对任意k个不全为零的实数
，有
∴
是正定的
∴
的矩阵
是正定矩阵
即
即a的顺序主子式全大于零。
充分性：
对n作数学归纳法
当n=1时，
∵
，
显然
是正定的。
假设对n-1元实二次型结论成立，现在证明n元的情形。
令
，
，
∴a可分块写成
∵a的顺序主子式全大于零
∴
的顺序主子式也全大于零
由归纳假设，
是正定矩阵即，存在n-1阶可逆矩阵q使
令
∴
再令
，
有
令
，
就有
两边取行列式，则
由条件
得a＞0
显然
即a合同于e
，
∴a是正定的。
三．
负定矩阵的一些判别方法
1．n阶对称矩阵a是负定矩阵的充分必要条件是a的负惯性指数为n。
2．n阶对称矩阵a是负定矩阵的充分必要条件是a的特征值全小于零。
3．n阶对称矩阵a是负定矩阵的充分必要条件是a的顺序主子式
满足
，
即奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。
由于a是负定的当且仅当-a是正定的，所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出，故证明略。
四．半正定矩阵的一些判别方法
1．
n阶对称矩阵a是半正定矩阵的充分必要条件是a的正惯性指数等于它的秩。
2．
n阶对称矩阵a是半正定矩阵的充分必要条件是a的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。
3．
n阶对称矩阵a是负定矩阵的充分必要条件是a的各阶主子式全大于等于零，但至少有一个主子式等于零。
注：3中指的是主子式而不是顺序主子式，实际上，只有顺序主子式大于等于零并不能保证a是半正定的，例如：
矩阵
的顺序主子式
，
，
，
但a并不是半正定的。
关于半负定也有类似的定理，这里不再写出。
