斯托克斯公式怎么用 请问大家关于高数中斯托克斯公式的理解，我有一个疑问
斯托克斯公式好复杂，有什么用？斯托克斯公式的应用条件是什么？斯托克斯公式的理解问题，请问大家关于高数中斯托克斯公式的理解，我有一个疑问，高数题，用斯托克斯公式计算曲线积分，斯托克斯公式转化。
本文导航
斯托克斯公式好复杂，有什么用？
1斯托克斯公式由于流体的粘滞性，固体在流体中运动会受到两种阻力，一种是由于层流体附着在固体表面，层流体和邻层流体间的内摩擦力；另一种是为压强阻力，压强阻力的实质是尾随运动着的固体后面的流体中，有涡旋产生．固体相对于流体的速度小时涡旋还未形成，压强阻力可被忽略，这时，阻力可视为只有前一种．半径为r的球形物体，在粘滞系数为η的流体中，以速度v运动时，所受阻力为：f＝6πηrv（1）……………………………这就是斯托克斯公式．2斯托克斯公式的应用实例例1，有一半径为r，密度为ρ的小球，在密度为ρ（ρ＜ρ）、粘滞系数为η的静止流体中下落，若所受阻力遵从斯托克斯公式，试求小球的最大速度．解：最初小球在重力G＝43πr3ρg和浮力F＝43πr3ρg的作用下加速下落，速度逐渐增加，阻力按式（1）逐渐增大，直到三力平衡（图a）时速度达到最大，小球匀速下落．由平衡条件，得：F＋f＝G即43πr3ρg＋6πηrv0＝43πr3ρg故v0＝29（ρ－ρ）ηgr2（2）
斯托克斯公式要求曲线封闭吗
光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线，若函数P，Q，R在S（连同L）上连续，且有一阶连续偏导数，则斯托克斯公式成立。
斯托克斯公式的理解问题
我不知道你想问什么，因为所有积分的值都与坐标系无关，那是因为有所谓的“微分的形式不变性”，或者讲“换元法”。换元法说的就是一个坐标内的积分，可以在另一个（微分等价的）坐标内来做。
而旋度也是与坐标无关的定义，虽然在有坐标的时候，它按照坐标来定义，但是不管你怎么定义，对E^3的向量场X，设和它对偶的一次形式场为w，也就是w(Y)
=
，dw是二次形式场，设Z是和*dw(*是Hodge
star
operator)对偶的那个向量场，那么Z就是X的旋度。你可以验证下这个定义和一般基于坐标的定义一致，并且满足上面给的方程（实际上上面给的方程也用来定义旋度）。这些定义都是不依赖于坐标的，也就是说，旋度是几何量。
不知道这是不是你要问的。
更具体一点：
设
w
是
与
F
对偶的一次形式场，用
\int_C
记在封闭路径
C
上的线积分，\int_S
是在曲面
S
上的面积分。ds
是
C
上的线元，dS
是
S
上的面元。i
:
C
->
E^3
是包含映射,
i^*是回拉。T
是
C
上的单位切向量，n
是
S
上的单位外法向量。
那么左边
\int_C
=
\int_C
<
F,
T*ds>
=
\int_C
ds
=
\int_C
w(T)
ds
注意到
(i^*)(w)(T)
=
w(T)
=
w(T)*ds(T)
所以
(i^*)(w)
=
w(T)ds
这个式子说，w
在
C
上的限制，等于w(T)ds
所以上面的积分
\int_C
w(T)
ds
=
\int_C
(i^*)(w)
（由
Stokes
公式）
=
\int_S
dw
记
curlF
是
F
的旋度，则
=
(*dw)(n)
对任意S上一点的单位正交切向量X,
Y,
dS(X,Y)=1
所以
dS
(
X,Y)
=
=
(*dw)(n)
=
dw(X,
Y)
所以
dS
=
dw
所以上面的积分等于右边。
请问大家关于高数中斯托克斯公式的理解，我有一个疑问
还是那句话，你要学会严谨地叙述问题，只有把问题讲清楚了才能解决。
当然我大致能估计出你想问什么，Stokes公式中曲面的选取确实是任意的，三楼的讲法大体上是对的。我可以稍微补充几点。
1.
曲面的侧确实很重要，曲面积分本身需要建立在定向曲面上，而曲面的侧也决定了曲线积分的方向。
2.
两片公用边界的曲面S1和S2确实可以认为构成封闭曲面（此时应该理解成S1和反向的S2构成封闭曲面），不过这个曲面及其内部区域的结构可能会非常复杂，即使那S1和S2本身的光滑性都很好。
如果需要使用对区域要求比较高的Gauss公式，那么很多时候有必要借助第三片曲面S3，使得S3和S1仅在边界相交，S3和S2也仅在边界相交，这样就可以使用较强要求的Gauss公式来证明了。被积函数确实是0，你自己验证，不要偷懒。
不过话说回来，即便是引入S3来解决区域结构的问题，其严谨性仍然是比较大的问题，因为这个看似显然的几何事实实际上很难证明（可以参考Jordan曲线定理的证明难度），所以我认为Gauss公式用在这里可以帮助理解，但最好不要用来作为推理依据，推理还是直接用Stokes公式比较好。
3.
根据曲面积分的物理意义也可以理解为什么积分值曲面的选取方式无关。
第二类曲面积分本身于来源不可压缩流体在单位时间内通过某定向曲面的流量，从这个物理意义上看流量确实是由曲面的边界（即一条简单闭曲线）决定的，当然物理意义也只能用来帮助理解，不要作为推理依据。
高数题，用斯托克斯公式计算曲线积分
按照原题是∮ydx+zdy+xdz来做：
把斯托克斯公式中的各个对象对号入座：其中
①P=y，Q=z，R=x，
②积分曲面∑就取X+y+z=0与X2+y2+z2=a2的交线所围的平面，
③注意Q对z的偏导数=1，R对x的偏导数=1，P对y的偏导数=1，其他3个偏导数都=0
则套用斯托克斯公式得到原曲线积分∮ydx+zdy+xdz=∫∫【∑上】dydz+dzdx+dxdy
把上式右边对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分=∫∫【∑上】（cosα+cosβ+cosγ）dS
其中cosα，cosβ，cosγ就是平面X+y+z=0的指向右上方向的方向余弦，cosα=cosβ=cosγ=1/√3
于是∫∫【∑上】（cosα+cosβ+cosγ）dS=√3∫∫【∑上】dS=√3*（∑的面积）
∑的面积=∏a2，故√3*∏a2为所求原曲线积分的值。
斯托克斯公式转化
斯托克斯公式就是将曲面 的曲面积分与沿曲面 的边界闭曲线 的曲线积分联系起来,而高斯公式给出了空间闭区域的三重积分与其边界闭曲面上的曲面积分之间的关系.
化成了三重积分就可以用投影法解决呀.
夹角的+—是的法向量与坐标轴为锐角取+,否则取-,
区域封闭不封闭,是给的已知条件.
对于封闭的区域也可以用第二解法利用曲线与曲面积分的联系计算来做,不过用第二种方法来做一定要把题目中的每一个面都考虑.
建议看看同济大学版的《高等数学》,
