为什么实对称矩阵一定可以对角化 关于矩阵可对角化的几个条件
为什麼实对称矩阵一定可以对角化？或者证明一下实对称矩阵的n个特徵值一定有n个线性无关的特徵向量，实对称矩阵一定可以主对角化吗？为什么实对称矩阵一定能对角化？为什么实对称矩阵必可对角化？实对称矩阵是不是一定可以相似对角化，为什么实对称矩阵一定能对角化？
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关于矩阵可对角化的几个条件
对于n阶实对称矩阵Q，设以它的k个线性无关的特征向量为列构成的矩阵为U（U是n行k列）
下证明，如果k<n，总可以找到一个新的特征向量，这样可以不断添加直到找到Q的n个线性无关特征向量
将U补全为一个n阶正交方阵P=[U V]，则V是n行n-k列，且有U^TV=0和V^TQU=V^T[t1*u1...tk*uk]=0，其中ti是Q的特征向量。
考虑V^TQV，设它的一对特征值和特征向量是t和w，即V^TQVw=tw，则可以证明Vw是Q的一个以t为特征值的特征向量，理由如下：
只需证明两点：1)Vw与已有特征向量线性无关
2)QVw=tVw
对于1)，U^TVw=0w=0
对于2)，令r=QVw-tVw，由上文有V^Tr=0。而U^Tr=U^TQVw-U^TtVw=0-0=0（上文已证V^TQU=0），所以P^Tr=[U V]^Tr=0。由于P可逆，所以r=0，即QVw=tVw
实对称矩阵的特征值一定是实数吗
可以.
定理: 实对称矩阵的k重特征值恰有k个线性无关的特征向量
所以实对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量
所以实对称矩阵可对角化
什么条件下矩阵可对角化
直接证明更强的结论：Hermite矩阵可以酉对角化
如果A是Hermite阵，取A的一个单位特征向量x，张成一个酉阵Q=[x,*]
那么Q^HAQ具有分块结构
λ 0
0 B
对B用归纳假设就行了
正规矩阵和可对角化矩阵
这涉及到一系列的定理，不是在这里可以详细解答的，告诉你这些定理，并注明在同济《线性代数》第三版中的位置，你可以详细阅读，其它版本的《线性代数》可以到相应地方去找。
定理1：n阶矩阵A能与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。（p146定理4）
定理2：实对称阵A的特征值都是实数。（p147定理5）
由这个定理可以知道，实对称阵一定存在实特征向量。
定理3：实对称阵的不同特征值对应的特征向量一定是互相正交的。（p147定理6）
注：正交的向量组一定是线性无关的向量组。
定理4：实对称阵A的r重特征值λ一定有r个线性无关的特征向量。（p148定理7）
由这个定理可以知道，n阶实对称阵一定有n个线性无关的特征向量。
结合定理1与定理4，就可以得到你需要的结论。
怎么判断是否是实对称矩阵
若能证明下列命题，你的问题便也立即得到解决了。
设A是一个n阶实对称矩阵，那么可以找到n阶正交矩阵T，使得（T的逆阵）AT为对角矩阵。
证明：当n=1时结论显然成立。现在证明若对n-1阶实对称矩阵成立，则 对n阶实对称矩阵也成立。设シ是A的一个特征值（n阶矩阵一定有n个特征值（计数重复的）），设α是A 的一个特征向量（α是列向量）。（（α的转置）*A）的转置=Aα=シα。因为特征向量的非零倍数仍然是特征向量，所以只要把α的每一个元都除以イ，其中イ的平方=（α的转置）*α，就使得α为单位向量（所谓单位向量就是（α的转置）*α=1）。显然所有的单位向量有无数个，且显然可以找到足够多的列单位向量，使得他们与α的内积为0且他们两两内积等于0，因为正交矩阵的充要条件是列（行）向量两两正交且都是单位向量，又因为对方阵而言若AB=E则BA=E，故可以 以α为第一列人工写出一个正交矩阵Q，（所谓正交矩阵就是（Q的转置）*Q=Q*(Q的转置)=E）。由（（α的转置）*A）的转置=Aα=シα 得（Q的转置）A的第一行是（シα）的转置，于是 （Q的转置）AQ的第1行第1列处是シ（α的转置）α= シ，还可以推出（Q的转置）AQ的第一列除了第一行以外都是0（至于这是为啥实在不方便打字，读者可以自己算一下，提示一下 设t是T是元，tij*t+t..*t..+t..*t..+t..*t..时若每一项的角标都不完全一样，那么这些加起来就是0）。因为Q是正交矩阵，（（Q的逆阵）AQ）的转置=（Q的转置）（A的转置）（Q的逆阵的转置）=（Q的逆阵）AQ，所以（Q的逆阵）AQ也是对称矩阵，所以它第一行除了第一列以外也都是0，而除了第一行第一列剩下的一大块矩阵还是一个对称矩阵，所以最后可以反复进行这个过程整成对角矩阵。证毕
然而正交矩阵一定是可逆矩阵，对方阵而言可逆等价于满秩，乘以一个方阵满秩方阵以后秩不变，这就证明了你的实对称矩阵一定可以相似对角化
如何证明矩阵可以对角化
实对称阵的特征值都是实数，所以n阶阵在实数域中就有n个特征值，并且实对称阵的每个特征值的重数和属于它的无关的特征向量的个数是一样的。
在线性代数中，对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。1855年，埃米特证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如称为埃米特矩阵的特征根性质等。
后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。
将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。
