球坐标三重积分怎么算 球面坐标求三重积分

绝版2022-11-23 21:02:59566

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高数;球面坐标算三重积分

φ是r与z轴正向的倾角,

范围

是[0,π],当

积分

区域是

球心

在原点的上半球域,

角φ的范围自然是[0,π/2],少了下半球域。

球面坐标求三重积分

空间区域Ⅴ在球面r=1上的投影,必须是球面矩形,否则不能用本公式。2.确定屮1,屮2.看坐标面屮=屮0,它是一个圆锥面,顶点在原点,轴为z轴,半顶角为屮0(图也可从下面照片中找),让屮0从0变到丌,就象一把直骨伞 从z的上半轴逐渐打开,开平,再反弓(向下的一个圆维面),最后反弓的收到z的负半轴。在这个过程中,伞面与空间区域V接触的范围[屮1,屮2]即为所求。3.确定Q1,Q2.与上同理Q=Q0是个半平面,z轴是其边,其与xy面的交是xy面的原点射线,射线的极角为Q0,Q0从0变到2丌,象一个门,门轴为z轴,转了一圈,在这一过程中门与空间区域Ⅴ接触的范围[Q1,Q2]即为所求。4.确定r=r1(Q,屮),r=r2(Q,屮).在图中画一个带箭头的原点射线穿向空间区域Ⅴ,穿入(或出)面为内(或外)面,设其方程为F(x,y,z)=0,将球变换代入此方程得到一个只含r,Q,屮的的等式,解出r=一个只含Q,屮的式子,这个式子就是r=r1(Q,屮);同理可由外面得到r=r2(Q,屮 )。

下面用你给的题讲如何使用上述公式:

接着讲将三重积分化为柱坐标系下的三次积分的方法:先使用直角坐标系下计算三重积分的先一(一重积分)后二(二重积分)公式或先二(二重积分)后一(一重积分)公式,再将其中的二重积分化为极坐标下的二次积分,这样就完成了将三重积分化为柱坐标下的三次积分了。

所以下边只需介绍这两个公式:

一、先一后二公式:如空间区域Ⅴ在xy面上的投影为D,且围住Ⅴ上(或下)面的方程为z=g(x,y)(或z=h(x,y)),则

∫∫∫(V)fdxdydz=∫∫(D)[∫(下限z=h(x,y);上限z=g(x,y))fdxdy]dz

此公式的关键口诀:含z方程上下面,无z消z围D线。

二、先二后一公式:如空间区域Ⅴ在z轴上的投影为区间[c,d],且过z轴上z点作平行于xy面的平面与Ⅴ的交是一个平面区域D(z),则

∫∫∫(V)fdxdydz=∫(下限c;上限d)[∫∫(D(z))fdxdy]dz

此公式的关键口诀:围D(z)的曲线方程就是围Ⅴ的曲面方程(只不过把z看成常数

球坐标系下的三重积分是什么?

球坐标中是这样表示空间中一点的:

用ρ表示点到原点的距离,0≤ρ≤+∞,在ρz平面上,从z轴正半轴向ρ偏转的角度是φ,0≤φ≤π,从x轴偏转到平面的角度是θ,0≤θ≤2π。

被称作球坐标的原因是,如果固定了ρ=a作为半径,通过移动ρ就可以得到一个球面,φ就是ρ的南北朝向,0°≤φ< 90°,ρ朝北,90°<φ≤180°,ρ朝南。

直角坐标系法

适用于被积区域Ω不含圆形的区域,且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法:

⑴先一后二法投影法,先计算竖直方向上的一竖条积分,再计算底面的积分。

①区域条件:对积分区域Ω无限制。

②函数条件:对f(x,y,z)无限制。

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