什么时候要单位化 线性代数的正交公式
二次型化为标准型什么时候需要单位化？求可逆矩阵P的时候，什么情况要单位化，什么时候不用？为什么要单位化？线性代数 由二次型化为标准型,什么情况需要单位化正交化,什么时候不用?谢谢!？特征向量什么时候需要单位化？求助 什么情况需要单位化什么时候正交化？
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二次型化为规范型步骤
用特征值特征向量方法求标准形时, 需变换是正交变换
所以要把构成矩阵P的特征向量正交化和单位化
求二次型矩阵要不要单位化
我觉得是，题目要求正交矩阵的时候才要正交化单位化（一般是求实对称矩阵的正交变换化为对角形的时候），如果题目只要求可逆矩阵P的时候就不需要。
什么是基础解系的单位化
终于想起来原因了，楼主，你的情况我也出现过。在楼主眼里，n个n维正交向量组组成的矩阵必为正交阵。其实不然，正交阵要求A乘以A的转置后等于单位阵。加入A=（a1,a2,a3,a4)其中a1,a2,a3,a4为四位列向量，且两两正交。则A与AT相乘后对角线上的四个数字必为bjj=aj乘以aj转=||aj||，j=(1，2，3，4）假如||aj||不等于1，那就不是单位阵了，就变成了对角阵。几个易混淆和出错的概念1.AB=E并不代表A，B可逆。2.AAT=E并不代表A是正交阵。
线性代数的正交公式
我们以二次型矩阵A的特征矩阵为基础，利用正交化法进行变换，思路是正交矩阵（AAT=E)的转置等于逆，利用正交矩阵使A对角化(以特征值为对角线元素的对角矩阵)。
注意：正交矩阵不同列内积均为0，也就是列向量正交，且每列元素平方和均为1，也就是单位化，矩阵列向量正交不代表矩阵就是正交矩阵！
分两种情况：
二次型矩阵A是实对称矩阵(必可对角化)，如果其特征值λ互异，那么对应特征向量必正交(对角称矩阵的性质)，由其构成的矩阵只需单位化(列向量分别除以模)，就可得到正交变换矩阵；
否则，二次型矩阵A相同特征值对应的特征向量，取基础解系，与其它互异特征值对应的特征向量一起构成矩阵，只需对基础解系施密特正交变换(正交化)，然后对矩阵单位化(勿忘！)。
变换的结果是特征值λ为系数的标准型。
特征向量标准正交化怎么求
1、如果A是实对称矩阵，要求求正交矩阵P，使P^T*A*P成为对角阵，则求得的A的特征向量要先正交化（如果A有重特征值），再单位化，然后才可以写出正交阵P。
2、在二次型化为标准形的题目里，如果要求求正交变换，则求得的二次型矩阵A的特征向量要先正交化（如果A有重特征值），再单位化，然后才可以写出正交变换的。
一个矩阵A的特征值可以通过求解方程pA(λ) = 0来得到。 若A是一个n×n矩阵，则pA为n次多项式，因而A最多有n个特征值。
反过来，代数基本定理说这个方程刚好有n个根，如果重根也计算在内的话。所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n，每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形，对于偶数或奇数的n，非实数特征值成共轭对出现。
扩展资料
任意给定一个矩阵A，并不是对所有的x它都能拉长（缩短）。凡是能被A拉长（缩短）的向量称为A的特征向量(Eigenvector)；拉长（缩短）量就为这个特征向量对应的特征值（Eigenvalue）。
值得注意的是，我们说的特征向量是一类向量，因为任意一个特征向量随便乘以一个标量结果肯定也满足以上方程，当然这两个向量都可以看成是同一个特征向量，而且它们也都对应同一个特征值。
如果特征值是负数，那说明了矩阵不但把向量拉长（缩短）了，而且让向量指向了相反的方向。一个矩阵可能可以拉长（缩短）好几个向量，所以它可能就有好多个特征值。如果A是实对称矩阵，那么那些不同的特征值对应的特征向量肯定是互相正交的。
一个变换矩阵的所有特征向量组成了这个变换矩阵的一组基。所谓基可以理解为坐标系的轴。我们平常用到的大多是直角坐标系，在线形代数中可以把这个坐标系扭曲、拉伸、旋转，称为基的变换。我们可以按我们的需求去设定基，但是基的轴之间必须是线形无关的。
也就是保证坐标系的不同轴不要指向同一个方向或可以被别的轴组合而成，否则的话原来的空间就“撑”不起来了。在主成分分析(Principal Component Analysis)中我们通过在拉伸最大的方向设置基，忽略一些小的量，可以极大地压缩数据而减小失真。
变换矩阵的所有特征向量作为空间的基之所以重要，是因为在这些方向上变换矩阵可以拉伸向量而不必扭曲和旋转它，使得计算大为简单。所以特征值固然重要，终极目标却是特征向量。
参考资料来源：百度百科-特征向量
如果指标单位一样还需要标准化吗
首先明确，不同特征值对应的特征向量必正交。然后，以三阶为例，重根λ1=λ2，λ3=C，
这时λ1、λ2重根，考虑是否需要施密特正交，如果λ1、λ2对应的特征向量乘一下，内积为0就不需要施密特了，如果内积不为0则要先将λ1、λ2对应的特征向量正交化一下，最后三个特征向量一起单位化。
小结：特征值有重根需要在单位化之前考虑一下重根特征值对应的特征向量是否需要施密特正交化
回到题主所问，这类问题一般出现在让你求正交矩阵P，使 PTAP=∧ 或者 P逆AP=∧ (PT：T是上标，PT即P的转置矩阵，∧：对角矩阵，P逆：P的逆矩阵)
这时的正交矩阵就需要单位化
从考研角度答的，如有误，请指正!
