不等式的定理怎么证明 不等式的基本定理如何证明

不等式证明怎么学？不等式的基本定理如何证明？怎么证明托勒密不等式？怎样用同伦不等式证明？绝对值三角不等式定理证明过程，求解析，高中数学不等式证明的八种方法。

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不等式证明怎么学？

解一元二次不等式:概念含有一个未知数且未知数的最高次数为2次的的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0(a不等于0),其中ax^2+bx+c实数域上的二次三项式。

一元二次不等式的解法 1）当V("V"表示判别是，下同）=b^2-4ac>=0时，二次三项式，ax^2+bx+c有两个实根，那么ax^2+bx+c总可分解为a(x-x1)(x-x2)的形式。这样，解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的并集。

还是举个例子吧。

2x^2-7x+6<0

利用十字相乘法

2 －3

1 －2

得（2x-3)(x-2)<0

然后，分两种情况讨论：

一、2x-3<0，x-2>0

得x<1.5且x>2。不成立

二、2x-3>0，x-2<0

得x>1.5且x<2。

得最后不等式的解集为：1.5<x<2。

另外，你也可以用配方法解二次不等式：

2x^2-7x+6

=2(x^2-3.5x)+6

=2(x^2-3.5x+3.0625-3.0625)+6

=2(x^2-3.5x+3.0625)-6.125+6

=2(x-1.75)^2-0.125<0

2(x-1.75)^2<0.125

(x-1.75)^2<0.0625

两边开平方，得

x-1.75<0.25且x-1.75>-0.25

x<2且x>1.5

得不等式的解集为1.5<x<2

若（a-1）X>-a+1的解集是x<-1则a的取值范围是__

已知不等式4x-a大于或等于0的正整数解是1,2,则a的取值范围是__

若不等式1/3(x-m)>2-m的解集为x>2则m的取值范围是__

不等式(a-2)x>1的解集为x>1/a-2,则a的取值范围是__

如果a<2,那么不等式ax>2x+5的解集为__

已知方程x+b=5的解为负数则b的取值范围是__

若不等式2-mx>5-2x的解集是x<3/2-m,则m的取值范围是__

若不等式x+2>m的解集为-1<x<2,则m的取值范围是_

x-1<n

方程组x+y=1的解为x,y,且x>0,y<0则a的取值范围是-

x-y=2a

不等式的基本定理如何证明

a+b≥2√ab

∵（a+b）²=a²+2ab+b²

（2√ab）²=4ab

a²+2ab+b²-4ab=a²-2ab+b²=（a-b）²≥0

∵√ab≥0

∴a+b≥2√ab

怎么证明托勒密不等式

托勒密定理

托勒密(Ptolemy，约公元85~165年)是古代天文学的集大成者.一般几何教科书中的“托勒密定理”(圆内接四边形的对边积之和等于对角线之积)，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.

定理

如果四边形内接于圆，那么它的两对对边的乘积之和等于它的对角线的乘积.

证

设四边形ABCD有外接圆O，AC和BD相交于P，∠CPD=α(图3-107).若四边形ABCD的四边都相等，则四边形ABCD为圆内接菱形，即正方形，结论显然成立.若四边不全相等，不失一般性，设

‖BD，于是△ABD≌△EDB，从而AD=BE.

又

而

S四边形ABCD=S四边形BCDE，

所以

即

(AD×BC+AB×CD)sin∠EBC=AC×BD×sinα.

由于

∠α=∠DAC+∠ADB=∠DBC+∠EBD=∠EBC，

所以

AD×BC+AB×CD=AC×BD.

说明

(1)托勒密定理可以作如下推广:“在凸四边形ABCD中，

AB×CD+AD×BC≥AC×BD.

当且仅当四边形ABCD是圆内接四边形时，等号成立.”

由此可知，托勒密定理的逆定理也成立.

(2)托勒密定理的证明方法很多，这里采用的是面积证法.还可采用相似三角形或余弦定理证明，请读者自行完成.

怎样用同伦不等式证明？

比较法

比较法是证明不等式的最基本方法，具体有"作差"比较和"作商"比较两种。基本思想是把难于比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。当求证的不等式两端是分项式（或分式）时，常用作差比较，当求证的不等式两端是乘积形式（或幂指数式时常用作商比较）

例1已知a+b≥0，求证：a3+b3≥a2b+ab2

分析：由题目观察知用"作差"比较，然后提取公因式，结合a+b≥0来说明作差后的正或负，从而达到证明不等式的目的，步骤是10作差20变形整理30判断差式的正负。

∵（a3+b3)(a2b+ab2)

=a2(a-b)-b2(a-b)

=(a-b)(a2-b2)

证明： =(a-b)2(a+b)

又∵(a-b)2≥0a+b≥0

∴(a-b)2(a+b)≥0

即a3+b3≥a2b+ab2

例2 设a、b∈R+，且a≠b，求证：aabb＞abba

分析：由求证的不等式可知，a、b具有轮换对称性，因此可在设a＞b＞0的前提下用作商比较法，作商后同"1"比较大小，从而达到证明目的，步骤是：10作商20商形整理30判断为与1的大小

证明：由a、b的对称性，不妨解a＞b＞0则

aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b

∵ab0，∴ab1，a-b0

∴(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba

练习1 已知a、b∈R+，n∈N，求证（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）

基本不等式法

利用基本不等式及其变式证明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及 变形有：

（1）若a、b∈R，则a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时，取等号）

（2）若a、b∈R+，则a+b≥ 2ab （当且仅当a=b时，取等号）

（3）若a、b同号，则 ba+ab≥2（当且仅当a=b时，取等号）

例3 若a、b∈R， ｜a｜≤1，｜b｜≤1则a1-b2+b1-a2≤1

分析：通过观察可直接套用： xy≤x2+y22

证明： ∵a1-b2b1-a2≤a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1

∴b1-a2+a1-b2≤1，当且仅当a1+b2=1时，等号成立

练习2：若 ab0，证明a+1(a-b)b≥3

综合法

综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式性质推算出要证明不等式。

例4，设 a0，b0，a+b=1，证明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252

证明：∵ a0，b0，a+b=1

∴ab≤14或1ab≥4

左边=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)2-2ab］+(a+b)2-2aba2b2

=4+(1-2ab)+1-2aba2b2≥4+(1-12)+8=252

练习3：已知a、b、c为正数，n是正整数，且f (n)=1gan+bn+cn3

求证：2f（n）≤f（2n）

分析法

从理论入手，寻找命题成立的充分条件，一直到这个条件是可以证明或已经证明的不等式时，便可推出原不等式成立，这种方法称为分析法。

例5：已知a0，b0，2ca+b，求证：c-c2-ab＜a＜c+c2-ab

分析：观察求证式为一个连锁不等式，不易用比较法，又据观察求证式等价于 ｜a-c｜＜c2-ab也不适用基本不等式法，用分析法较合适。

要证c-c2-ab＜a＜c+c2-ab

只需证-c2-ab＜a-c＜c2-ab

证明： 即证 ｜a-c｜＜c2-ab

即证 (a-c)2＜c2-ab

即证 a2-2ac＜-ab

∵a＞0，∴即要证 a-2c＜-b 即需证2+b＜2c，即为已知

∴ 不等式成立

练习4：已知a∈R且a≠1，求证：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）2

放缩法

放缩法是在证明不等式时，把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明不等式，是证明不等式的重要方法，技巧性较强常用技巧有：（1）舍去一些正项（或负项），（2）在和或积中换大（或换小）某些项，（3）扩大（或缩小）分式的分子（或分母）等。

例6：已知a、b、c、d都是正数

求证： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2

分析：观察式子特点，若将4个分式商为同分母，问题可解决，要商同分母除通分外，还可用放缩法，但通分太麻烦，故用放编法。

证明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1

又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d

∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2

综上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2

练习5：已知：a＜2，求证：loga(a+1)＜1

6换元法

换元法是许多实际问题解决中可以起到化难为易，化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，若通过换元的思想与方法去解就很方便，常用于条件不等式的证明，常见的是三角换元。

(1)三角换元：

是一种常用的换元方法，在解代数问题时，使用适当的三角函数进行换元，把代数问题转化成三角问题，充分利用三角函数的性质去解决问题。

例7、若x、y∈R+,且 x-y=1 A=(x-1y)(y+1y)。1x，求证0＜A＜1

证明： ∵x，y∈R+， 且x-y=1，x=secθ ， y=tanθ ，（0＜θ＜xy ）

∴ A=(secθ-1secθ(tanθ+1tanθ·1sec2θ

=1-cos2θcosθ·s2m2θ+cos2θcosθ·s2mθ·cos2θ

=sinθ

∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1

复习6：已知1≤x2+y2≤2，求证：12 ≤x2-xy+y2≤3

(2)比值换元：

对于在已知条件中含有若干个等比式的问题，往往可先设一个辅助未知数表示这个比值，然后代入求证式，即可。

例8：已知 x-1=y+12=z-23，求证：x2+y2+z2≥4314

证明：设x-1=y+12=z-23=k

于是x=k+1，y=zk-1，z=3k+2

把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2

=14(k+514)2+4314≥4314

反证法

有些不等式从正面证如果不好说清楚，可以考虑反证法，即先否定结论不成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步推导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原有结论是正确的，凡是"至少"、"唯一"或含有否定词的命题，适宜用反证法。

例9：已知p3+q3=2，求证：p+q≤2

分析：本题已知为p、q的三次 ，而结论中只有一次 ，应考虑到用术立方根，同时用放缩法，很难得证，故考虑用反证法。

证明：解设p+q＞2，那么p＞2-q

∴p3＞（2-q）3=8-12q+6q2-q3

将p3+q3 =2，代入得 6q2-12q+6＜0

即6（q-1）2＜0 由此得出矛盾 ∴p+q≤2

练习7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞0.

求证：a＞0，b＞0，c＞0

数学归纳法

与自然数n有关的不等式，通常考虑用数学归纳法来证明。用数学归纳法证题时的两个步骤缺一不可。

例10：设n∈N，且n＞1,求证： (1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+12

分析：观察求证式与n有关，可采用数学归纳法

证明：（1）当n=2时，左= 43，右=52

∵43＞52∴不等式成立

（2）假设n=k(k≥2，k∈n)时不等式成立，即（1+13）（1+15）…（1+12k-1)＞2k+12

那么当n=k+1时，(1+13)(1+15)…(1+12k-1)(1+12k+1)＞2k+12·(1+12k+1)①

要证①式左边＞ 2k+32，只要证2k+12·

2k+22k+1＞2k+32②

对于②〈二〉2k+2＞ 2k+1·2k+3

〈二〉(2k+2)2＞ (2k+1)(2k+3)

〈二〉4k2+8k+4＞ 4k2+8k+3

〈二〉4＞3 ③

∵③成立 ∴②成立，即当n=k+1时，原不等式成立

由（1）（2）证明可知，对一切n≥2（n∈N），原不等式成立

练习8：已知n∈N，且n＞1，求证： 1n+1+1n+2+…+12n＞ 1324

构造法

根据求证不等式的具体结构所证，通过构造函数、数列、合数和图形等，达到证明的目的，这种方法则叫构造法。

1构造函数法

例11：证明不等式：x1-2x ＜x2 （x≠0）

证明：设f（x）= x1-2x- x2 （x≠0）

∵f (-x)

=-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x2

=x1-2x- ［1-(1-2x)］+x2=x1-2x-x+x2

=f（x）

∴f（x）的图像表示y轴对称

∵当x＞0时，1-2x＜0 ，故f（x）＜0

∴当x＜0时，据图像的对称性知f（x）＜0

∴当x≠0时，恒有f（x）＜0 即x1-2x＜x2（x≠0）

练习9：已知a＞b，2b＞a+c，求证：b- b2-ab＜a＜b+b2-ab

2构造图形法

例12：若f（x）=1+x2 ，a≠b，则|f（x）-f（b）|＜ |a-b|

分析：由1+x2 的结构可知这是直角坐标平面上两点A(1，x)，0(0，0)的距离即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2

于设A(1，a)，B(1，b)则0A= 1+a2

绝对值三角不等式定理证明过程，求解析

原式两边平方开根号 整理得 √<x^2+y^2+(-2|x||y|)>≤√<x^2+y^2+（±2xy）>≤√<x^2+y^2+(2|x||y|)> 要证不等号成立 即证 -2|x||y|≤±2xy≤2|x||y| 易知上不等式成立 所以原不等式也成立。

个实数的绝对值的几何意义为:在数轴上表示这个数的点与原点之间的距离。正数的绝对值等于它本身, 0的绝对值还是0, 负数的绝对值等于它的相反数，对于|a|，当a>0时，|a|=a，距离为正，此时表示a的点在原点右侧；当a=0时，|a|=0，距离为0，此时表示a的点即为原点。

当a<0时，|a|=-a，距离为负，此时表示a的点在原点左侧。

举例：|-2.5|指在数轴上-2.5与原点的距离，这个距离是2.5，所以-2.5的绝对值是-2.5。同样，指在数轴上表示2与原点的距离，这个距离是2，所以2的绝对值是2。

高中数学代数不等式证明例题

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