矩阵等价是什么意思 矩阵等价与可交换
什么叫矩阵等价？矩阵等价、向量组等价，充要条件分别是什么？什么叫矩阵等价？两个矩阵等价是什么意思，怎么定义的.两矩阵等价和相？什么是矩阵等价有这个定义么？矩阵等价是什么意思？
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矩阵等价与可交换
你好！广泛意义的等价，是集合在某种变换下保持不变性。如：矩阵A与称为等价的，如果B可以是A经过一系列初等变换得到。矩阵在初等变换下是行列式不变的。在线性代数中，合同、相似都是等价关系
矩阵相乘可交换的充要条件
不要信口开河。“矩阵等价”是最简单的关系。——同类型矩阵A与B
等价。即，矩阵A可经初等变换转化为B等价条件，R（A）=R（B）“向量组等价”是最复杂的关系。——两向量组等价，即，两向量组可以相互线性表示。等价条件，两向量组秩相等，且其中一组向量可以被另一组向量线性表示。复杂在于，一个向量能否被某组向量线性表示，这是一个线性方程组有无解的问题。
矩阵等价的标志
定义:若由A经过一系列初等变换可得到矩阵B
，则称A与B等价.
若A与B等价,则B与A等价.
若A与B等价,B与C等价,则A与C等价.
A与B等价<==>秩(A)=秩(B)
A与B等价<==>A与B有相等的等价标准形
A与B等价<==>存在可逆矩阵P,Q，使得PAQ＝B
两个矩阵等价得出的结论
a经过一系列初等变换等到b，称a与b等价，也就是存在可逆阵pq使b=paq，那么ab秩相等。而ab相似是存在可逆阵p使b=p－1ap，由此可见相似的结论强于等价，具有的性质更多了。比如特征值相同，行列式相同
矩阵等价跟向量等价的区别
矩阵等价的几何意义
两矩阵等价的充要条件是"两矩阵秩相同,且矩阵的大小相同"，而秩相同是矩阵相似的必要条件，所以矩阵相似一定等价但是矩阵等价不一定相似，例如
1 1 ；0 1 和 1 0 ；0 1 两者秩相同等价，但是不相似
两矩阵合同的判断条件有两层，首先两矩阵都是二次型也就是对称矩阵，其次是这两个大小相同的"矩阵的特征值取正取负取零的个数一致"，因为矩阵相似时矩阵的特征值相同，所以两"对称矩阵"相似时必然合同，但矩阵合同不一定相似，例如
1 0 ；0 2 和 2 0 ；0 3 两者秩正负情况一致且是对称矩阵合同，但不相似
两矩阵相似的条件也有两层，一是大小相同的两方阵特征值个数取值相同，二是相同的特征值对应的非线性相关特征向量的个数相同，例如
1 0 ；0 2 和 2 0 ；0 1 两者皆为方阵特征值相同且，相同特征值对应特征向量情况一致
理论上由于矩阵等价合同相似对于矩阵大小形状各有不同要求，所以具体情况应当具体分析
实际应用过程中，考研数学一般把矩阵限定为实对称矩阵，这时矩阵相似对于矩阵合同和等价是一个强条件，利用矩阵相似能够推出矩阵合同和矩阵等价，合同和等价又可进一步推出矩阵的正定性质和待求方程组解的情况
简单记忆方法：等价->秩，合同->特征值正负，相似->特征值、特征向量
