怎么证矩阵相似 证明两个矩阵等价的方法

与你若只如初见2023-03-16 12:11:471099

怎么证明两个矩阵相似呢?证明两个矩阵相似的充要条件是什么?如何证明矩阵AB相似?有没有小条件可以快速得到的呢?如何判断一个矩阵的相似矩阵?线性代数,证明两个矩阵相似,线性代数中怎么证明两个矩阵相似?

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怎么证明两个矩阵相似呢?

都可以对角化就说明都与对角阵相似,且特征值相同,说明和同一对角阵相似,由相似的传递性可知,A B相似。

在线性代数中,相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A,B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B,则称矩阵A与B相似,记为A~B。

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。

注: 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。

扩展资料:

若矩阵可对角化,则可按下列步骤来实现:

(1) 求出全部的特征值;

(2)对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成,即为对应的线性无关的特征向量;

(3)上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。

将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。

U是m×m阶酉矩阵;Σ是m×n阶实数对角矩阵;而V*,即V的共轭转置,是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。

参考资料来源:百度百科——相似矩阵

证明两个矩阵等价的方法

AB是任意矩阵,没有特别指明说AB是实对称矩阵或者可对角化,若需要可以将以上将其作为充分必要条件的一部分。...

1、相似的定义为:对n阶方阵A、B,若存在可逆矩阵P,使得P^(-1)AP=B,则称A、B相似。

2、从定义出发,最简单的充要条件即是:对于给定的A、B,能够找到这样的一个P,使得:

P^(-1)AP=B;或者:能够找到一个矩阵C,使得A和B均相似于C。

3、进一步地,如果A、B均可相似对角化,则他们相似的充要条件为:A、B具有相同的特征值。

4、再进一步,

因为每个矩阵都相似于唯一一个其标准若尔当型,

那么只要他们的标准若尔当型相同(当然他们的若尔当块可适当调整位置),他们就相似。

如何证明矩阵AB相似?有没有小条件可以快速得到的呢?

此问很笼统。若是AB都已知的话,只要将它们都化成行最简形,若相同则它们相似;如果AB未知,只是给出一些条件,那就要具体分析了,大致是用相似的定义去证明。

如何判断一个矩阵的相似矩阵?

答:根据题目知道A是对角矩阵,找A的相似对角矩阵。

一个矩阵相似对角阵的充分必要条件是:ni重特征值λ的特征向量有ni个。即r(λiE-A)=n-ni

根据原理我们求ABCD的特征值为:

特征值1为2重特征值,其对于的矩阵(E-A)的秩,r(E-A)=3-2=1

选项A,r(E-A)=2

选项B,r(E-A)=2

选项C,r(E-A)=1

选项D,r(E-A)=2

所以答案选择C

扩展知识:

相似矩阵的定义是:

A,B

都是

n

阶矩阵,若有可逆矩阵

P

,使

P^{-1}AP=B

则称

B

A

的相似矩阵,或说

A

B

相似。

特征向量:

矩阵A线性变换后,有某一些向量仍然在变后的空间保持原有的方向,只是这些向量被拉伸或者压缩的了,称为特征向量。

特征值:

矩阵进行同一个维度的空间线性变换后,保持方向不变的特征向量的拉伸或者压缩的倍数即是特征值, (验证在文末,参照“备注验证B”)

线性代数,证明两个矩阵相似

都可以对角化就说明都与对角阵相似,且特征值相同,说明和同一对角阵相似,由相似的传递性可知,A B相似。

在线性代数中,相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A,B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B,则称矩阵A与B相似,记为A~B。

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。

注: 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。

扩展资料:

若矩阵可对角化,则可按下列步骤来实现:

(1) 求出全部的特征值;

(2)对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成,即为对应的线性无关的特征向量;

(3)上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。

将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。

U是m×m阶酉矩阵;Σ是m×n阶实数对角矩阵;而V*,即V的共轭转置,是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。

参考资料来源:百度百科——相似矩阵

线性代数中怎么证明两个矩阵相似

只需要证明两个矩阵有相同的特征值。

得第一个矩阵特征值为2,1,-1

同理可得第二个矩阵特征值为2,1,-1

因此两个矩阵都∽对角矩阵diag(2,1,-1)

由于相似的传递性,故两矩阵相似

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标签: 数学
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