高等数学定理有哪些 高等数学介值定理的注意事项

七月份的尾巴2022-11-23 09:03:511481

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傅里叶级数收敛值怎么算

定理(收敛定理,狄利克雷(Dirichlet)充分条件)设f(x)是周期为2π的周期函数,如果它满足:

①在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;

②在一个周期内至多只有有限个极值点;

那么f(x)的傅里叶级数收敛,并且

当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x);

当x是f(x)的第一类间断点时,级数收敛于(1/2)*[f(x-)+f(x+)];

收敛定理告诉我们:只要函数在[-π,π]上至多有有限个第一类间断点,并且不作无限次振动,函数的傅里叶级数在连续点处就收敛于该点的函数值,在间断点处收敛于该点的左极限与右极限的算术平均值。

可见,函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低得多。

高等数学自然定义域如何算

介值定理:又名中间值定理,是闭区间上连续函数的性质之一,闭区间连续函数的重要性质之一。在数学分析中,介值定理表明,如果定义域为[a,b]的连续函数f,也就是说,介值定理是在连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间。

零点定理:如果函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y= f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)= 0的根。

扩展资料

零点定理的证明:不妨设f(a)<0,f(b)>0.令E={x|f(x)<0,x∈[a,b]}

由f(a)<0知E≠Φ,且b为E的一个上界,于是根据确界存在原理,存在ξ=supE∈[a,b].

下证f(ξ)=0(注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此时必有ξ∈(a,b)).

事实上,

(i)若f(ξ)<0,则ξ∈[a,b).由函数连续的局部保号性知存在δ>0,对x1∈(ξ,ξ+δ):f(x)<0→存在x1∈E:x1>supE,这与supE为E的上界矛盾;

(ii)若f(ξ)>0,则ξ∈(a,b].仍由函数连续的局部保号性知存在δ>0,对x1∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在x1为E的一个上界,且x1<ξ这又与supE为E的最小上界矛盾.

综合(i)(ii),即推得f(ξ)=0.

我们还可以利用闭区间套定理来证明零点定理。

参考资料来源:百度百科-介值定理

参考资料来源:百度百科-零点定理

数学中所有定理

第一章 函数与极限

第一节 映射和函数

映射的定义 设X、Y是两个非空集合,如果存在一个对应法则 f ,使得X中的每个元素x,按法则 f,在 Y 中有唯一的元素 y 与之对应,那么称 f 为从 X 到 Y 的映射,记作 。其中 y 称为元素 x (在映射 f 下) 的像,并记作  ,即  ,而元素 x 称为元素 y (在映射 f 下)的原像;集合X称为映射 f 的定义域(domain),记作  ,即

设函数 f 是从集合 X 到 Y 的映射,若  ,即 Y 中的任意元素 y 都是 X 中的某元素的像,则称 f 为 X 到 Y 上的映射 或 满射

若对 X 中的任意两个不同元素  ,他们的像  ,则称 f 为 X 到 Y的单射。

若映射 f 既是单射,又是满射,则称为一一映射 (或双射 )

函数的定义 设数集  ,则映射  为定义在 D 上的函数,通常简记为  其中 x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为定义域,记作  即 

自变量 x 与因变量 y 之间的这种依赖关系,通常称为函数关系

构成函数的两个要素:定义域  及对应法则 

各种各样的函数

绝对值函数 

符号函数 

取整函数 

狄利克雷函数 

第二节 数列的极限

数列极限的定义 设  为一数列,如果存在常数 a,对于任意给定的  (无论它多么小),总存在正整数 N ,使得当 n > N 时,不等式  都成立,那么就称常数 a 是数列 的极限,或者称数列 收敛于 a ,记为  或  。使用“  语言”可以表达为:  ,当n > N 时,恒有 .

注意:定义中的正整数 N 是与任意给定的 有关的,它随着 的给定而选定

收敛数列的充要条件 若数列  收敛,则其任何子列 也收敛,而且  .

高等数学介值定理的注意事项

高数马勒戈壁指的是:费马定理、泰勒公式、拉格朗日定理、洛必达法则的简称。

费马大定理,又被称为“费马最后的定理”,由17世纪法国数学家皮耶·德·费马提出。他断言当整数n>2时,关于x,y,z的方程x^n+y^n=z^n没有正整数解。

泰勒公式,应用于数学、物理领域,是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值。

拉格朗日定理存在于多个学科领域中,分别为:微积分中的拉格朗日中值定理;数论中的四平方和定理;群论中的拉格朗日定理 (群论)。在微积分中,拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,同时也是柯西中值定理的特殊情形。

洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法,因两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在,也可能不存在。

所以求这类极限时往往需要适当的变形,转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算,洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。

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