矩阵相似对角化怎么求 线性代数,关于矩阵相似和对角化(谢谢)
怎么样求一个矩阵能否相似对角化?线性代数,关于矩阵相似和对角化(谢谢,线性代数,实对称矩阵相似对角化问题。
本文导航
怎么样求一个矩阵能否相似对角化
如下都是充要条件
存在可逆矩阵$P,$满足$P^{-1}AP$为对角矩阵.
矩阵$A$的$Jordan$标准形的每个$Jordan$块都是1阶的.
矩阵$A$有$n$个线性无关的特征向量.
矩阵$A$的特征值的代数重数都等于几何重数.
矩阵$A$的最小多项式为无重根.并且根在数域内.
矩阵$A$的初等因子都是一次的.
线性代数,关于矩阵相似和对角化(谢谢)
先求出特征根.每个特征根对应一个矩阵,求出这个矩阵对应的方程组的基础解系.所有基础解系的个数加起来是n就可对角化,小于n就不可对角化.
线性代数,实对称矩阵相似对角化问题
1、给定对称阵A,求正交阵U,使得U^TAU=U^(-1)AU=D是对角阵。
一般而言U都不是惟一的,特别是A有重特征值时,答案更不是惟一的。
但这没有关系,只要U的列向量是对应的特征向量,那就没有问题。
2、给定特征值和特征向量,求对称阵A。这个问题一般而言也不是唯一的,
但特殊情况下是惟一的。像本题,属于特征值-1的特征向量α3给定,属于1
的特征向量没给,但答案还是惟一的。这是可以证明的,只不过证明比较繁琐,
一般是不要求证明的,只要求求出对称阵A就可以了。
1是二重特征值,对应两个线性无关的特征向量,这两个特征向量都与属于-1的
特征向量正交,利用这个可以得到方程组
x2+x3=0。注意到这个方程三个未知数,一个方程,因此有两个线性无关的解,
这恰好是属于1的两个线性无关的特征向量。这个方程的基础解系不惟一,随便取
一组α1,α2,然后令U=[α1
α2
α3],则U^(-1)AU=D=diag(1
1
-1)。由此解出A
=UDU^(-1)即可。值得注意的是这时U不是正交阵。计算可能比较麻烦。为了计算
方便,可以将α1,α2正交化,然后连通α3单位化,这些步骤你做得应该比较熟了,
得到正交阵U,此时U^(-1)AU=U^TAU=D,因此A=UDU^T。你可以验证一下,
两种方法得到的A是一样的。