矩阵秩的性质有哪些 2阶分块矩阵的秩怎么计算
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矩阵的秩与值的关系
最后要证明的是秩相等，也就是等号成立，但到目前（也就是你问的地方）为止还没有完全证出来，只是证明了R(B)>=r，因此后面肯定还要证明R(B)<=r。经过一次第一类或第二类初等变换后，矩阵B有一个r阶子式不为0，因此按秩的定义，只能得到B的秩不会小于r，至于是否相等，还要看后面的证明。
矩阵的秩的运算方法
秩怎么求例题
我们假定 A是在域 F上的 m× n矩阵并描述了上述线性映射。只有零矩阵有秩 0 A的秩最大为 min(m,n) f是单射，当且仅当 A有秩 n（在这种情况下，我们称 A有“满列秩”）。f是满射，当且仅当 A有秩 m（在这种情况下，我们称 A有“满行秩”）。在方块矩阵A（就是 m= n) 的情况下，则 A是可逆的，当且仅当 A有秩 n（也就是 A有满秩）。如果 B是任何 n× k矩阵，则 AB的秩最大为 A的秩和 B的秩的小者。即：秩（AB）≤min（秩（A），秩（B)) 推广到若干个矩阵的情况，就是：秩（A1A2...Am)≤min（秩（A1），秩（A2），...秩（Am)) 证明：考虑矩阵的秩的线性映射的定义，令A、B对应的线性映射分别为 f和 g，则秩（AB)表示复合映射 f·g，它的象 Im f·g是 g的像 Im g在映射 f作用下的象。然而 Im g是整个空间的一部分，因此它在映射 f作用下的象也是整个空间在映射 f作用下的象的一部分。也就是说映射 Im f·g是Im f的一部分。对矩阵就是：秩（AB）≤秩（A）。对于另一个不等式：秩（AB）≤秩（B），考虑 Im g的一组基：（e1，e2，...，en），容易证明（f(e1），f(e2），...，f(en））生成了空间 Im f·g，于是 Im f·g的维度小于等于Im g的维度。对矩阵就是：秩（AB）≤秩（B）。因此有：秩（AB）≤min（秩（A），秩（B））。若干个矩阵的情况证明类似。作为 < 情况的一个例子，考虑积 两个因子都有秩 1，而这个积有秩 0。可以看出，等号成立当且仅当其中一个矩阵（比如说 A）对应的线性映射不减少空间的维度，即是单射，这时 A是满秩的。于是有以下性质：如果 B是秩 n的 n× k矩阵，则 AB有同 A一样的秩。如果 C是秩 m的 l× m矩阵，则 CA有同 A一样的秩。A的秩等于 r，当且仅当存在一个可逆 m× m矩阵 X和一个可逆的 n× n矩阵 Y使得 这里的 Ir指示 r× r单位矩阵。证明可以通过高斯消去法构造性地给出。矩阵的秩加上矩阵的零化度等于矩阵的纵列数（这就是秩-零化度定理）。
矩阵的秩计算公式
行满秩矩阵就是行向量线性无关
列满秩矩阵就是列向量线性无关
一个矩阵的行秩等于列秩,
所以如果是方阵,
行满秩矩阵与列满秩矩阵是等价的.
矩阵的秩和它的行列式的关系
矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。
设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。
定义1.
在m´n矩阵A中，任意决定k行和k列
(1£k£min{m,n})
交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
例如，在阶梯形矩阵
中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式
就是矩阵A的一个2阶子式。
定义2.
A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A
的秩，记作rA，或rankA。
特别规定零矩阵的秩为零。
显然rA≤min(m,n)
易得：
若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵,
det(A)¹
0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。
由行列式的性质1(1.5[4])知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。
低秩说明
极大无关组中向量的个数少或A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数小
2阶分块矩阵的秩怎么计算
矩阵的秩
在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。
这是矩阵的秩的定义，但是看上去比较难以理解，因此，我打算从多种矩阵的角度来解答这个问题。
我们知道，一般的矩阵是mxn的类型，还有一种就是方阵，方阵就是特殊的矩阵，指的是行数和列数相等的矩阵，对于这两种矩阵而言，矩阵的秩也有着很大的区别。
对于方阵(行数、列数相等)的A矩阵而言，矩阵的秩就是用R(A)来表示。
对于mxn的A矩阵而言，矩阵的秩有多种情况，最大是m和n中的较小的一个数值，我们称尽可能大的秩的矩阵为满秩，那不满足的话就被称为秩不足。
当然，这些都是定义，还是要给出实际的例子才能解释什么才是矩阵的秩。
我们一般怎么来计算矩阵的秩。
通俗的讲，就是数数，数矩阵的非零行数。
矩阵的秩其中有一个定理，这个定理需要大家进行记忆，初等变换不改变矩阵的秩，根据这个定理，我们在计算矩阵的秩的时候就用矩阵的初等行变换将矩阵变成行阶梯矩阵，而行阶梯矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩。
图一
那么，对于矩阵的秩有一个初步的了解之后，我们再来研究相应的例题。
在研究例题之前，矩阵的秩有几个定理需要记忆一下。
1、矩阵进行初等变换后是不改变矩阵的秩的，这是我之前举例子也提到过的一点。
2、矩阵的行秩、列秩、秩都是相等的，这就意味着你只要求出其中一个，就能够知道其他的条件。
3、如果矩阵A可逆的话，矩阵A和它的逆矩阵B相乘得到的矩阵和逆矩阵B的秩相等，反过来，即为R(AB)=R(B)。
4、假设存在两个矩阵M和N，由于矩阵相乘得到的新矩阵的行和列都是在矩阵M和N的行和列的范围内的，所以相乘得到的新矩阵的秩是小于等于矩阵M和N的最小值，即为R(AB)<=min{RA,RB}。
5、假设存在矩阵K，它的列秩等于列n，由于定理2可以得到列秩和秩都为n。
实际例题
在知道这些定理之后，我们此时做实际的例题就会感觉到简单一些。
图二
如图所示，给出一道例题，我们先审题，矩阵A是3x3的方阵，矩阵B是3x2的矩阵(3行2列)
这里让我们求方程AX=B的解。
在求该方程的解之前，我要先提一提AX=B这类方程是什么。
形如AX=B的这类方程指的是非齐次线性方程组，也就是常数项不全为零的线性方程组。
再来看这道题给的提示，系数矩阵、增广矩阵和阶梯形矩阵。
1、系数矩阵：方程组的
